请问这几个概率怎么求
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
应该是这样子：P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
概率：
P(X2=1)=1/2p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)={1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)P(A|B)=P(AB)/P(B)
网上找到啦：
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。全概率公式的形式如下：以上公式就被称为全概率公式。
https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A8%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%85%AC%E5%BC%8F/9980676
概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。
朋友望采纳一下欧
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=
p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=
(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
应该是这个吧:
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=
p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=
(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=
p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=
(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
答：
首先，计算P(X2=1)：
P(X2=1)=P(X2=1,X1=0,X3=0) + P(X2=1,X1=1,X3=1)
其次，计算P(X2=1Y=0)：
P(X2=1Y=0)=P(X2=1,X1=0,X3=0) / P(Y=0)
再次，计算P(X2=1Y=1)：
P(X2=1Y=1)=P(X2=1,X1=1,X3=1) / P(Y=1)
最后，计算P(X2=1Y=1,X1=0,X3=0)：
P(X2=1Y=1,X1=0,X3=0)=P(X2=1,X1=0,X3=0) / P(Y=1,X1=0,X3=0)
应该是这样，望采纳谢谢
P(X2=1)=1/2
p(X2=1lY=O)
=p(x2=1&Y=O)/p(Y=O)
=(1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6))/ （1/8*(1+5/ 6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6))
=(2/3+5/9+1/5+1/6) /(1 +5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(AlB)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
公式：P(AlB)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1lY=O)
=p(x2=1&Y=O)/p(Y=O)
=(1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)) / (1/8*(1+5/ 6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6))
=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P ( X2 = 1 ) = 1 / 2
p ( X2 = 1 | Y = 0) = p ( x2 = 1 & Y = 0 ) / p ( Y = 0 ) = { 1 / 8 * (2 / 3 + 5 / 9 + 1 / 5 + 1 / 6 ) } / { 1 / 8 * ( 1 + 5 / 6 + 2 / 3 + 3 / 10 + 5 / 9 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 ) } = ( 2 / 3 + 5 / 9 + 1 / 5 + 1 / 6 ) / ( 1 + 5 / 6 + 2 / 3 + 3 / 10 + 5 / 9 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 )
P ( A | B ) = P ( AB ) / P ( B )
以下答案由GPT-3.5大模型与博主波罗歌共同编写：
- 掷一个骰子，出现点数为5的概率是多少？
解答：骰子有6个面，点数为5的只有1个，因此概率为1/6。
代码：
p = 1/6
print('概率为：', p)
- 从扑克牌中随机抽两张，且两张牌都是红色的概率是多少？
解答：扑克牌中一共有52张牌，其中红色牌有26张。先从红色牌中抽一张，概率为26/52。然后，从剩下的红色牌中再抽一张，概率为25/51。因此，两张牌都是红色的概率为(26/52) * (25/51) = 0.2451。
代码：
p = (26/52) * (25/51)
print('概率为：', p)
- 一枚硬币抛掷两次，恰好一次正面朝上的概率是多少？
解答：硬币抛掷两次，一共有4种可能的结果：正正、正反、反正、反反。其中，恰好一次正面朝上的结果为正反或反正，概率为2/4。因此，恰好一次正面朝上的概率为1/2。
代码：
p = 1/2
print('概率为：', p)
如果我的回答解决了您的问题，请采纳！
P(X2=1) = P(X2=1|X1=0,X3=0) * P(X1=0,X3=0) +
P(X2=1|X1=1,X3=0) * P(X1=1,X3=0) +
P(X2=1|X1=0,X3=1) * P(X1=0,X3=1) +
P(X2=1|X1=1,X3=1) * P(X1=1,X3=1)
其中，P(X1=0,X3=0)、P(X1=1,X3=0)、P(X1=0,X3=1)、P(X1=1,X3=1)可以根据边缘概率公式计算：
P(X1=0,X3=0) = P(X1=0,X2=0,X3=0) + P(X1=0,X2=1,X3=0) + P(X1=0,X2=0,X3=1) + P(X1=0,X2=1,X3=1)
P(X1=1,X3=0) = P(X1=1,X2=0,X3=0) + P(X1=1,X2=1,X3=0) + P(X1=1,X2=0,X3=1) + P(X1=1,X2=1,X3=1)
P(X1=0,X3=1) = P(X1=0,X2=0,X3=1) + P(X1=1,X2=0,X3=1) + P(X1=0,X2=1,X3=1) + P(X1=1,X2=1,X3=1)
P(X1=1,X3=1) = 1 - P(X1=0,X3=0) - P(X1=1,X3=0) - P(X1=0,X3=1)
将P(X1=0,X3=0)、P(X1=1,X3=0)、P(X1=0,X3=1)、P(X1=1,X3=1)代入上述公式，即可计算P(X2=1)的值。
根据上述计算，P(X2=1)的值为：
P(X2=1) = P(X2=1,Y=0) + P(X2=1,Y=1)
= 0 + (1/6 + 4/9 + 3/4 + 4/5 + 5/6) / 5
≈ 0.7189
大概是这样：
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
这几个概率可以通过条件概率公式来计算：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
根据给出的信息，可以得到：
P(B) = 0.3
P(A∩B) = 0.15
P(A'∩B) = 0.1
其中，A' 表示事件 A 的补集，即事件 A 不发生的情况。
因此，可以计算出：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.15 / 0.3 = 0.5
P(A'|B) = P(A'∩B) / P(B) = 0.1 / 0.3 = 1/3
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.3 - 0.15 = 0.55
P(A'∩B') = 1 - P(A∪B) = 1 - 0.55 = 0.45
其中，A∪B 表示事件 A 或 B 发生的概率，A'∩B' 表示事件 A 和 B 都不发生的概率。
试试：P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
根据提供的信息，我们可以使用贝叶斯公式和全概率公式来计算这些概率。假设这里的X1、X2、X3和Y是离散型随机变量。
首先，我们需要找到X2的分布。根据提供的信息，X2的取值为0或1，且条件概率0 < P(X2=1) < 1。因此，我们可以假设X2服从伯努利分布，即：
P(X2=1) = p
P(X2=0) = 1 - p
其中，0 < p < 1是一个未知参数，表示X2取值为1的概率。
接下来，我们可以使用条件概率公式和全概率公式来计算所需的概率：
P(X2=1) = p
P(X2=1|Y=0) = P(X2=1) （由于Y=0时，对X2没有任何影响，因此P(X2=1|Y=0)等于P(X2=1)）
P(X2=1|Y=1) = P(X2=1|Y=1) = (P(Y=1|X2=1) * P(X2=1)) / P(Y=1) （根据贝叶斯公式）
其中，由于没有提供P(Y=1)的信息，我们需要使用全概率公式来计算它：
P(Y=1) = P(Y=1|X2=0) * P(X2=0) + P(Y=1|X2=1) * P(X2=1)
Copy
= 0 * (1 - p) + F * p （根据提供的条件概率）
= F * p
因此，可以得到：
P(X2=1|Y=1) = F * P(X2=1) / (F * P(X2=1) + 0 * (1 - p))
Copy
= F * p / (F * p)
= 1 （由于F和p都是大于0的，因此P(X2=1|Y=1)一定是1）
P(X2=1|Y=1,X1=0,X3=0) = P(X2=1|Y=1) （由于X1和X3的取值对X2没有影响，因此P(X2=1|Y=1,X1=0,X3=0)等于P(X2=1|Y=1)）
因此，根据上面的计算结果，P(X2=1|Y=1,X1=0,X3=0)等于1。
P(X2=1|Y=1,X1=1,X3=1) = P(X2=1|Y=1) = 1（由于X1和X3的取值对X2没有影响，因此P(X2=1|Y=1,X1=1,X3=1)等于P(X2=1|Y=1)）
因此，我们得到了以下答案：
P(X2=1) = p
P(X2=1|Y=0) = P(X2=1)
P(X2=1|Y=1) = 1
P(X2=1|Y=1,X1=0,X3=0) = 1
P(X2=1|Y=1,X1=1,X3=1) = 1
如有帮助给个采纳谢谢
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
=-=
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=
p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=
(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
很简答的呀，基础的概率题：
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
参考 https://www.cuemath.com/conditional-probability-formula/
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
这么算一下就行：
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
以上图为例，实验进行的总次数为 N NN，n i j n_{ij}n
ij
表示在 x i , y j x_i,y_jx
i
,y
j
条件下的频数，有：c i = ∑ j n i j c_i=\sum_j n_{ij}c
i
=∑
j
n
ij
，r j = ∑ i n i j r_j=\sum_i n_{ij}r
j
=∑
i
n
ij
，p ( X = x i ) = c i N \displaystyle p(X=x_i)=\frac{c_{i}}{N}p(X=x
i
)=
N
c
i
，p ( Y = y j ) = r j N \displaystyle p(Y=y_j)=\frac{r_{j}}{N}p(Y=y
j
)=
N
r
j
；
联合概率：p ( X = x i , Y = y j ) = n i j N \displaystyle p(X=x_i,Y=y_j)=\frac{n_{ij}}{N}p(X=x
i
,Y=y
j
)=
N
n
ij
；
条件概率：p ( Y = y j ∣ X = x i ) = n i j c i \displaystyle p(Y=y_j|X=x_i)=\frac{n_{ij}}{c_i}p(Y=y
j
∣X=x
i
)=
c
i
n
ij
；
计算法则
概率求和法则：p ( X ) = ∑ Y p ( X , Y ) \displaystyle p(X)=\sum_Y p(X,Y)p(X)=
Y
∑
p(X,Y)；
概率求积法则：p ( X , Y ) = p ( Y ∣ X ) p ( X ) \displaystyle p(X,Y)=p(Y|X)p(X)p(X,Y)=p(Y∣X)p(X)
贝叶斯理论：
p ( Y ∣ X ) = p ( X ∣ Y ) p ( Y ) p ( X ) \displaystyle p(Y|X)=\frac{p(X|Y)p(Y)}{p(X)}p(Y∣X)=
p(X)
p(X∣Y)p(Y)
，
其中 P ( Y ∣ X ) P(Y|X)P(Y∣X) 被称为后验概率，P ( X ∣ Y ) P(X|Y)P(X∣Y) 被称为似然函数（类概率密度），P ( Y ) P(Y)P(Y) 被称为先验概率，p ( X ) = ∑ Y p ( X ∣ Y ) p ( Y ) \displaystyle p(X)=\sum_Y p(X|Y)p(Y)p(X)=
Y
∑
p(X∣Y)p(Y)可被视为正则项因子（为一常数）；
概率密度：
一变量 x xx 落入区间 ( x , x + δ x ) (x,x+\delta x)(x,x+δx) 的概率记为：p ( x ) ⋅ δ x p(x)\cdot\delta xp(x)⋅δx，其中 δ x → 0 \delta x\to 0δx→0，p ( x ) p(x)p(x) 记为概率密度；则 x xx 落入区间 ( a , b ) (a,b)(a,b) 的概率为：P ( x ∈ ( a , b ) ) = ∫ a b p ( x ) d x \displaystyle P(x\in(a,b))=\int^b_ap(x)dxP(x∈(a,b))=∫
a
b
p(x)dx，且有 p ( x ) ≥ 0 ; ∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x = 1 p(x)\ge0;\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}p(x)dx=1p(x)≥0;∫
−∞
∞
p(x)dx=1
雅克比因子
在变量非线性变化的情况下，由于雅可比因子的存在，概率密度与简单函数的转换有所不同。例如，考虑一个变化的变量 x = g ( y ) x=g(y)x=g(y)，则函数 f ( x ) f(x)f(x) 变为 f ~ ( y ) = f ( g ( y ) ) \tilde f(y)=f(g(y))
f
~
(y)=f(g(y))，现在考虑概率密度 p x ( x ) p_x(x)p
x
(x) 及与之对应的新的变量 y yy 的概率密度 p y ( y ) p_y(y)p
y
(y)，他们是不同的。
对于足够小的 δ x \delta xδx，当变量落入区间 ( x , x + δ x ) (x,x+\delta x)(x,x+δx) 使，可被转换至 ( y , y + δ y ) (y,y+\delta y)(y,y+δy)，其中 p x ( x ) ⋅ δ x ≈ p y ( y ) ⋅ δ y p_x(x)\cdot\delta x\approx p_y(y)\cdot\delta yp
x
(x)⋅δx≈p
y
(y)⋅δy，因此，可以得到：p y ( y ) = p x ( x ) ⋅ ∣ d x d y ∣ = p x ( g ( y ) ) ⋅ ∣ g ′ ( y ) ∣ \displaystyle p_y(y)=p_x(x)\cdot|\frac{dx}{dy}|=p_x(g(y))\cdot|g'(y)|p
y
(y)=p
x
(x)⋅∣
dy
dx
∣=p
x
(g(y))⋅∣g
′
(y)∣
这一特性的结果就导致最大概率密度这一概念是依赖于变量的选择的。
期望和方差
期望
对连续函数，有期望 E [ f ] = ∫ p ( x ) f ( x ) d x \displaystyle\mathbb E[f]=\int p(x)f(x)dxE[f]=∫p(x)f(x)dx；
而对于离散值，则有 E [ f ] = ∑ x p ( x ) f ( x ) \displaystyle\mathbb E[f]=\sum_x p(x)f(x)E[f]=
x
∑
p(x)f(x)；
而条件期望有：E x [ f ∣ y ] = ∑ x p ( x ∣ y ) f ( x ) \displaystyle\mathbb E_x[f|y]=\sum_x p(x|y)f(x)E
x
[f∣y]=
x
∑
p(x∣y)f(x)；
方差
对变量 x xx 的方差，有 v a r [ x ] = E [ ( x − E [ x ] ) 2 ] = E [ x 2 ] − E 2 [ x ] var[x]=\mathbb E[(x-\mathbb E[x])^2]=\mathbb E[x^2]-\mathbb E^2[x]var[x]=E[(x−E[x])
2
]=E[x
2
]−E
2
[x]；
而对函数 f ( x ) f(x)f(x)，其方差则为：v a r [ x ] = E [ ( f ( x ) − E [ f ( x ) ] ) 2 ] = E [ f 2 ( x ) ] − E 2 [ f ( x ) ] var[x]=\mathbb E[(f(x)-\mathbb E[f(x)])^2]=\mathbb E[f^2(x)]-\mathbb E^2[f(x)]var[x]=E[(f(x)−E[f(x)])
2
]=E[f
2
(x)]−E
2
[f(x)]；
对变量 x , y x,yx,y，他们的协方差是 c o v [ x , y ] = E x , y [ ( x − E [ x ] ) ( y − E [ y ] ) ] = E x , y [ x y ] − E [ x ] ⋅ E [ y ] cov[x,y]=\mathbb E_{x,y}[(x-\mathbb E[x])(y-\mathbb E[y])]=\mathbb E_{x,y}[xy]-\mathbb E[x]\cdot\mathbb E[y]cov[x,y]=E
x,y
[(x−E[x])(y−E[y])]=E
x,y
[xy]−E[x]⋅E[y]；
若对于向量 x , y \mathbf x,\mathbf yx,y，他们的协方差则为一矩阵：c o v [ x , y ] = E x , y [ ( x − E [ x ] ) ( y T − E [ y T ] ) ] = E x , y [ x y T ] − E [ x ] ⋅ E [ y T ] cov[\mathbf x,\mathbf y]=\mathbb E_{\mathbf x,\mathbf y}[(\mathbf x-\mathbb E[\mathbf x])(\mathbf y^T-\mathbb E[\mathbf y^T])]=\mathbb E_{\mathbf x,\mathbf y}[\mathbf x\mathbf y^T]-\mathbb E[\mathbf x]\cdot\mathbb E[\mathbf y^T]cov[x,y]=E
x,y
[(x−E[x])(y
T
−E[y
T
])]=E
x,y
[xy
T
]−E[x]⋅E[y
T
]
典型分布
1.高斯分布
N ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 2 ⋅ e x p { − 1 2 σ 2 ⋅ ( x − μ ) 2 } \displaystyle N(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/2}}\cdot exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}\cdot(x-\mu)^2\}N(x∣μ,σ
2
)=
(2πσ
2
)
1/2
1
⋅exp{−
2σ
2
1
⋅(x−μ)
2
}
高斯分布的性质有：
（1）∫ − ∞ ∞ N ( x ∣ μ , σ 2 ) d x = 1 \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}N(x|\mu,\sigma^2)dx=1∫
−∞
∞
N(x∣μ,σ
2
)dx=1
（2）E [ x ] = ∫ − ∞ ∞ N ( x ∣ μ , σ 2 ) x d x = μ \displaystyle \mathbb E[x]=\int^{\infty}_{-\infty}N(x|\mu,\sigma^2)xdx=\muE[x]=∫
−∞
∞
N(x∣μ,σ
2
)xdx=μ
（3）E [ x 2 ] = ∫ − ∞ ∞ N ( x ∣ μ , σ 2 ) x 2 d x = μ 2 + σ 2 \displaystyle \mathbb E[x^2]=\int^{\infty}_{-\infty}N(x|\mu,\sigma^2)x^2dx=\mu^2+\sigma^2E[x
2
]=∫
−∞
∞
N(x∣μ,σ
2
)x
2
dx=μ
2
+σ
2
（4）v a r [ x ] = E [ x 2 ] − E 2 [ x ] = σ 2 var[x]=\mathbb E[x^2]-\mathbb E^2[x]=\sigma^2var[x]=E[x
2
]−E
2
[x]=σ
2
2.多维高斯分布
N ( x ∣ u , Σ ) = 1 ( 2 π ) D / 2 1 ∣ Σ ∣ 1 / 2 ⋅ e x p { − 1 2 ( x − u ) T Σ − 1 ( x − u ) } \displaystyle N(\mathbf x|\mathbf u,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\frac{1}{|\Sigma|^{1/2}}\cdot exp\{-\frac{1}{2}(\mathbf x-\mathbf u)^T\Sigma^{-1}(\mathbf x-\mathbf u)\}N(x∣u,Σ)=
(2π)
D/2
1
∣Σ∣
1/2
1
⋅exp{−
2
1
(x−u)
T
Σ
−1
(x−u)}
上式为一 D DD 维正态分布，u \mathbf uu 是均值向量，Σ \SigmaΣ 为 D × D D\times DD×D 维的协方差矩阵。
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
概率是随机事件发生的可能性大小，通常用一个0到1之间的数字来表示。在统计学和概率论中，概率是一个重要的概念，它可以帮助我们理解风险和不确定性，并用于预测和决策。在这篇文章中，我们将详细介绍如何计算不同类型的概率。
一、基本概率的计算方法
基本概率通常用来描述随机事件的发生概率，它的计算方法非常简单。在一个样本空间中，如果事件A包含n个元素，而样本空间中包含m个元素，则事件A的基本概率为n/m。
例如，在一副标准扑克牌中，如果我们从中抽取一张牌，那么这个事件的样本空间包含52个元素（因为有52张牌），而我们抽取一张黑桃牌的事件包含13个元素（因为每个花色都有13张牌）。因此，这个事件的基本概率为13/52=0.25，即25%。
二、条件概率的计算方法
条件概率是指在已知一些信息或事件的情况下，另一个事件发生的概率。它的计算方法较为复杂，需要用到贝叶斯定理。
在贝叶斯定理中，我们假设有两个事件A和B，我们已知事件A发生的概率为P(A)，事件B在A发生的情况下发生的概率为P(B|A)，即条件概率。则事件B发生的总概率为：
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A) * P(A)
其中，P(A)表示事件A不发生的概率，即1-P(A)。而P(B|A)表示在事件A不发生的情况下，事件B发生的概率。
例如，在一家医院中，某种疾病的发病率为0.1%，而某种医疗检查的阳性率（即结果为阳性与实际患病的一致性）为99%。在进行这项检查时，如果结果为阳性，那么患病的可能性是多少？
我们可以将事件A定义为一个人患有该疾病，事件B定义为该人检查结果为阳性。根据题目给出的信息，我们可以得到：
P(A) = 0.001
P(B|A) = 0.99
P(B|~A) = 0.01
则根据贝叶斯定理，事件A发生的概率在检查结果为阳性的情况下的条件概率为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / (P(B|A) * P(A) + P(B|A) * P(A))
= 0.99 * 0.001 / (0.99 * 0.001 + 0.01 * 0.999)
≈ 0.0906
即在检查结果为阳性的情况下，患病的可能性只有9.06%。
三、边际概率的计算方法
边际概率是指多个事件的联合概率分布中，某一个事件的概率分布。它的计算方法可以用离散型变量和连续型变量两种方式进行。
- 离散型变量的边际概率计算方法
假设有两个事件A和B，它们的联合概率分布如下：
| B=0 | B=1 | |
|---|---|---|
| A=0 | 0.20 | 0.15 |
| A=1 | 0.25 | 0.40 |
则事件A的边际概率为P(A)，可以通过对联合概率分布中某一行或某一列的概率进行求和得到，即：
P(A=0) = P(A=0, B=0) + P(A=0, B=1) = 0.20 + 0.15 = 0.35
P(A=1) = P(A=1, B=0) + P(A=1, B=1) = 0.25 + 0.40 = 0.65
- 连续型变量的边际概率计算方法
假设有两个连续型变量X和Y，并知道它们的联合概率密度函数为f(x,y)，那么变量X的边际概率密度函数可以通过对联合概率密度函数f(x,y)在所有可能的y值上进行积分得到，即：
f_X(x) = ∫f(x,y)dy
例如，假设X和Y是两个服从正态分布的随机变量，它们的联合概率密度函数为：
f(x,y) = (1 / (2 * π * σ^2)) * exp(-(x^2 + y^2) / (2 * σ^2))
则变量X的边际概率密度函数为：
f_X(x) = ∫f(x,y)dy
= ∫(1 / (2 * π * σ^2)) * exp(-(x^2 + y^2) / (2 * σ^2))dy
= (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-x^2 / (2 * σ^2))
其中，σ为正态分布的标准差。
四、联合概率的计算方法
联合概率是指多个事件同时发生的概率，它的计算方法取决于事件之间的关系。
- 独立事件的联合概率计算方法
如果多个事件是独立的，那么它们的联合概率可以通过对它们的基本概率进行乘积运算得到，即：
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
例如，在抛掷两个硬币的情况下，我们可以将事件A定义为第一个硬币为正面，事件B定义为第二个硬币为正面。由于两个硬币的结果是独立的，因此它们的联合概率为：
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25
- 非独立事件的联合概率计算方法
如果多个事件不是独立的，那么它们的联合概率可以通过条件概率和边际概率进行计算，即：
P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A) = P(A|B) * P(B)
例如，在一家医院中，某种疾病的发病率为0.1%，某种医疗检查的阳性率为99%，而某种特殊药物的治疗效果为80%。在这种情况下，如果一个人患有该疾病，接受该检查并使用该药物治疗，那么他痊愈的联合概率是多少？
我们可以将事件A定义为一个人患有该疾病，事件B定义为该人接受检查结果为阳性，事件C定义为该人使用药物治疗后痊愈。由于事件B和事件C都是在事件A发生的情况下进行的，因此它们之间不是独立的。根据条件概率和边际概率，我们可以得到：
P(B|A) = 0.99
P(C
Win32com是Python的一种模块，它可以帮助Python实现与Windows API交互，并且可以通过Python代码控制Windows下的各种应用程序，比如Excel、Word等。这种方法在数据处理、自动化工具等方面非常有用。
在使用win32com模块时，我们可以通过Python代码向Excel表格中写入数据，并将修改后的表格保存到原路径。但在实际操作中，有时候我们会遇到这样的问题：Excel无法保存到原路径，即使我们使用的是绝对路径，Excel依然无法保存。这时，我们需要进行进一步的调试和排查。
首先，我们需要确认一下Excel文件是否被锁定，如果该文件正在被其他进程打开或者正在执行某些操作，那么Excel就无法保存到原路径。我们可以使用系统工具“资源监视器”来查看当前Excel文件是否被其他进程占用。如果Excel文件被锁定，我们需要关闭所有占用该文件的进程或程序，然后再尝试保存Excel文件。
其次，我们还需要检查一下Python代码中是否存在语法错误或逻辑错误。如果代码中存在错误，那么就有可能导致Excel文件无法保存到原路径。我们可以使用Python编程工具来检查代码的语法和逻辑是否正确，并进行必要的更正。如果代码中无法找到错误，我们可以在调试代码时添加一些输出语句，以便更好地了解程序执行过程中的情况。
最后，我们还需要检查一下Excel文件的属性，包括文件的权限、读写属性等等。如果Excel文件的权限不足或者只有只读权限，那么Python代码就无法将修改后的Excel文件保存到原路径。我们可以通过右键点击Excel文件，选择“属性”来进行查看和修改Excel文件的属性。
总结起来，win32com可以帮助Python实现与Windows API交互，并且可以通过Python代码控制Windows下的各种应用程序，包括Excel。在使用win32com模块时，我们需要确认Excel文件是否被锁定，检查Python代码中是否存在错误，以及检查Excel文件的属性等等。只有在排查并解决了这些问题后，我们才能顺利地将修改后的Excel文件保存到原路径。
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)={1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
望采纳：P
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(X2=1)=1/2
p(X2=1|Y=0)=p(x2=1&Y=0)/p(Y=0)=
{1/8*(2/3+5/9+1/5+1/6)} / {1/8*(1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)}=(2/3+5/9+1/5+1/6) / (1+5/6+2/3+3/10+5/9+1/4+1/5+1/6)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
对于给定的图中的问题，我们可以用概率的乘法规则来求解。概率的乘法规则是指，如果事件 A 和事件 B 相互独立，则它们同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 在事件 A 发生的条件下发生的概率。
根据给定的信息，我们可以列出以下几个概率：
P(A)：事件A的概率。根据题目给出的信息，P(A) = 0.4。
P(B|A)：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。根据题目给出的信息，P(B|A) = 0.6。
P(C|A)：在事件A发生的条件下，事件C发生的概率。根据题目给出的信息，P(C|A) = 0.3。
P(D|B,C)：在事件B和事件C同时发生的条件下，事件D发生的概率。根据题目给出的信息，P(D|B,C) = 0.9。
接下来，我们可以使用乘法规则来计算最终的概率：
P(A and B and C and D) = P(D|B,C) * P(C|A) * P(B|A) * P(A)
将上述给定的概率代入计算即可。