证明二重积分中值定理
与一元积分中值定理类似。先严格叙述一下。
积分中值定理 设 是
上有限条光滑曲线围成的有界闭区域,函数
连续且
在
上不变号。则存在一点
使得
。
证明:由于 是紧致集,所以连续函数
在
上取得最小值
与最大值
。不妨设
上
,有对任意
有
。从而积分后有
。如果
,命题显然成立。下设
。则
。由于
是连通集,故由介值定理可知存在一点
满足定理条件。证毕。