高数。。。。。。。。。。。。

证明二重积分中值定理

与一元积分中值定理类似。先严格叙述一下。

积分中值定理 设  是  上有限条光滑曲线围成的有界闭区域，函数  连续且  在  上不变号。则存在一点  使得  。

证明：由于  是紧致集，所以连续函数  在  上取得最小值  与最大值  。不妨设  上  ，有对任意  有  。从而积分后有  。如果  ，命题显然成立。下设  。则  。由于  是连通集，故由介值定理可知存在一点  满足定理条件。证毕。