高数。。。。。。。。。。。。

证明二重积分中值定理

 

 

与一元积分中值定理类似。先严格叙述一下。

积分中值定理 设 [公式] 是 [公式] 上有限条光滑曲线围成的有界闭区域,函数 [公式] 连续且 [公式] 在 [公式] 上不变号。则存在一点 [公式] 使得 [公式] 。

证明:由于 [公式] 是紧致集,所以连续函数 [公式] 在 [公式] 上取得最小值 [公式] 与最大值 [公式] 。不妨设 [公式] 上 [公式] ,有对任意 [公式] 有 [公式] 。从而积分后有 [公式] 。如果 [公式] ,命题显然成立。下设 [公式] 。则 [公式] 。由于 [公式] 是连通集,故由介值定理可知存在一点 [公式] 满足定理条件。证毕。