线性 代数

 

参考GPT和自己的思路：

根据题目中给出的信息，我们可以列出以下方程组：

  • $a+b=5$
  • $a-3c=-3$
  • $3a+2b+c=10$

可以通过矩阵的方式来求解该方程组，将系数矩阵和常数向量写成一个增广矩阵，进行高斯-约旦消元求解。

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 5\
1 & 0 & -3 & -3\
3 & 2 & 1 & 10\
\end{bmatrix}$$

接下来，我们利用高斯-约旦消元法将矩阵变为行阶梯矩阵。

  1. 将第一行乘以 $-1$ 并加到第二行，得到：

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 5\
0 & -1 & -3 & -8\
3 & 2 & 1 & 10\
\end{bmatrix}$$

  1. 将第一行乘以 $-3$ 并加到第三行，得到：

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 5\
0 & -1 & -3 & -8\
0 & -1 & 1 & -5\
\end{bmatrix}$$

  1. 交换第二行和第三行，得到：

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 5\
0 & -1 & 1 & -5\
0 & -1 & -3 & -8\
\end{bmatrix}$$

  1. 将第二行乘以 $-1$，第三行加上第二行即可得到行简化阶梯矩阵：

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 5\
0 & 1 & -1 & 5\
0 & 0 & -2 & -3\
\end{bmatrix}$$

由此可得，$-2c=-3$，即$c=\frac{3}{2}$，进一步代入到第二行和第一行的方程中可得，$a=2$，$b=3$。因此，该线性方程组的解为 $a=2$，$b=3$，$c=\frac{3}{2}$。

参考GPT和自己的思路：

根据题目给出的方程组的系数矩阵和常数向量，可以使用高斯消元法解方程组。将系数矩阵化为阶梯形矩阵形式，求出该形式下方程组的解即可得到原方程组的解。下面是具体的步骤：

  1. 将系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵：
    [1 2 3 4]
[3 6 7 2]
[2 3 1 5]
  2. 将第一行乘以3，减去第二行，得到新的第二行：
    [ 1  2  3   4]
[ 0  0 -2  10]
[ 2  3  1   5]
  3. 将第一行乘以2，减去第三行，得到新的第三行：
    [ 1  2  3   4 ]
[ 0  0 -2  10 ]
[ 0 -1 -5  -3 ]
  4. 将第二行乘以(-1/2)，得到新的第二行：
    [ 1  2  3   4 ]
[ 0  0  1  -5 ]
[ 0 -1 -5  -3 ]
  5. 将第三行加上第二行的5倍，得到新的第三行：
    [ 1  2  3   4 ]
[ 0  0  1  -5 ]
[ 0  0 -20 -28]
  6. 将第三行乘以(-1/20)，得到新的第三行：
    [ 1  2  3   4 ]
[ 0  0  1  -5 ]
[ 0  0  1  7/5]
  7. 将第二行加上第三行的(-1)，得到新的第二行：
    [ 1  2  3    4 ]
[ 0  0  0  -22/5]
[ 0  0  1   7/5 ]
  8. 将第一行加上第三行的(-3)，减去第二行的(-5/2)倍，得到新的第一行：
    [ 1  2  0  3/5 ]
[ 0  0  0 -22/5]
[ 0  0  1  7/5  ]
  9. 因为第二行全为0，所以该方程组无解。

因此，该方程组无解。