浴缸已经被更多的家庭所接受，一般的家庭浴缸都没有自加热系统，需要通过热水龙头将热水装满浴缸。但当我们进入浴缸中进行放松的时候，却郁闷的发现，水温在不断的降低，并且意识到这只是一个简单的水容器。一段时间后，浴缸的温度明显降低，因此必须不断从水龙头中加入热水，以保持浴缸水温适中。普通的浴缸设计方式使得当浴缸达到最大容量时，多余的水会通过溢流口溢出。 请利用数学建模解决如下几个问题: . 1、建立一个空间和时间上的浴缸水温模型，考虑所加热水的温度和量。确定采取加水的最佳策略，以保持浴缸中的温度均匀，并尽可能接近初始温度, 而不会浪费过多的水。(提示: 本问可考虑建立- -个简单的微分方程模型，将一些物理学 上的复杂问题简单化。可以锁定温度考虑加水量，或者锁定加水量考虑温度，两者之间水温高加水量少，但是会浪费烧水所用能源;加入的水温低则加水量多，会浪费水。两者之间需要找- -个平衡点， 保证“浪费"最小。可以参看课件中微分方程章节) 2、目前常见的家用浴缸有木桶型和船型，木桶型水面面积较小，散热慢,舒适性差;船型水面面积较大，散热快，舒适性好。请利用模型寻找一个最佳方案，设计一款最优的浴缸形状。(提示: 这一-问中 需要考虑水温的逸散速度。其中舒适性是一-个非数值量，需要同学将其数值化，并将所有参与度量的数据都进行归一化处理后，放可放在一起进行比较。 可以参看课件中综合评价章节) 3、浴缸中人员的形状/体积/温度对于模型的影响，是否要改变加热水的策略。(提示: 该问是在第-问和第二问的基础上进行更进一步 的研究，人进入浴缸后会改变水的分布及水面的变化，因此温度的逸散速度会有变化，需要分析水温降低的速度是变快了还是变慢了，从而考虑加水的方式和速度问题。) 4、为用户提供一页非技术性的浴缸用户说明，以描述您的策略，同时说明加水的方式和保持水温的策略。
首先建立水量和水温的微分方程
1. 建立浴缸水量微分方程，水量变化 = 进水量 - 溢流量
2. 利用热力学定律建立水温微分方程，水温变化 = （进入总热量 - 散热量） / 热容
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