触发器的问题，求赐教

我该如何使这个触发器变为正确写法呢，求各位大哥大姐赐教

-- 数据准备
create database if not exists mydb10_trigger;
use mydb10_trigger;
-- 用户表
create table user(
uid int primary key,
username varchar(50) not null,
password varchar(50) not null
);
-- 用户信息操作日志表
create table user_logs(
id int primary key auto_increment,
time timestamp,
log_text varchar(255)
);

-- 需求1:当user表添加一行数据,则会自动在user_log添加日志记录
-- 定义触发器:trigger_test1
create trigger trigger_test1 after insert on user for each row
insert into user_logs values(null,now(),'有新用户添加');
-- 在user表中添加数据让触发器自动执行
insert into user values(1,'Kobe','123456'); -- 当执行此sql时user会多一条数据,user_logs会多一条日志

-- 需求2:当user表数据被修改时,则会自动在user_log添加日志记录
delimiter $$
create trigger trigger_test2 before update on user for each row
begin
insert into user_logs values(null,now(),'有用户信息被修改了');
end $$

delimiter ;

这里只是举例说明 Mysql 中触发器的编写格式。