求两球冠相交部分的面积

已知两球冠（三维）的半径均为r，球冠对应的圆锥角的一半分别为α，θ，两球冠中心轴线之间的夹角为v，计算两球冠重叠部分的表面积。

（即如图紫色部分的面积），对应计算的数学公式如何列呢？有没有相关的软件可以直接计算呢？

找到两篇论文，讲解了n维球冠相交部分面积的计算（英语）。数学功底不行，看不懂555。有哪位好心人知道怎么求吗？或者能帮我看看这两篇论文是怎么推导计算公式的吗？计算的matlab程序怎么编写？

 

我能看看论文吗

该区域的公式很复杂，但是它具有一个简单的Legendre展开

一种（θ）=∑

通过相关Legendre函数给出的系数，

这可能会有所帮助。

这个问题可以通过基本几何学，球面三角学解决。

我们可以假设 [R=1个。让ρ 和 ρ′ 是两个盖帽的球面半径。

当上限不相交时，无需计算。

当较小的帽（半径 ρ）是面积较大的子集 一种∩ 的交集由

一种∩=4π罪2⁡ρ2 。

假设两个边界圆在两个点相交 P 和 问。连接P 和 问大转弯 进一步连接中心C， C′ 两个都有两个 P 和 问。产生的两个弧C 有长度 ρ 并围成一个角度 α>0，同样有一个角度 α′ 在 C′。两个角度α 和 α′ 出现在 C 和 C′可以通过球面三角法从给定数据中计算得出。我将其留给OP。

然后，您将看到两个大写字母的交集（在上图未涵盖的情况下）也可以写成代数形式（即 ±）以下形状的总和：

（a）部门 小号 半径的球形帽的数量 ρ，分别。 ρ′和中心角 α>0，分别。 α′>0。该部门的面积由下式给出

一种小号=2α罪2⁡ρ2 。

（b）等腰球形三角形 Δ 两侧等于 ρ （要么 ρ′）和中心角 α>0。底角β 这样的三角形可以从下式计算

棕褐色⁡β=婴儿床⁡（α/2）cos⁡ρ ;

然后是它的面积 一种Δ 是（谁）给的

 

 

假设：

  1. 代替 θ 是两个球形盖的分离角度 α。
  2. 当我指的是球形帽（SC）的中心轴时，则表示该轴与SC的底部中心和球体的中心相交。
  3. 我假设所有SC都不比半球大。
  4. 我假设SC相交。

因此，两个SC的相交点到SC中心的最远点只能是 ，使用球面坐标系。问题表明存在两个具有基本半径的SC  和 在半径范围内  夹角为 α 在两个SC的中心轴之间。

SC的中心轴与从球体的中心到SC的基座的圆周的半径之间的角度为 ⁡ 和 。

对齐球体，使SC-1的中心轴与 X-轴平行（在 [R3坐标系）。将球体平移到原点。旋转球体，使SC-2的中心轴位于。角度α 现在从 X朝向 轴。角度Φ 包含在 在同一平面内，朝相同方向上升（但不是从 X-轴）。这些动作是合法的，因为它们不会扭曲形状或其表面积。

现在已经在某种程度上严格地定义了我们的问题，我们可以解决它。

让定义SC-2的底与球的交点的空间曲线为 。经过一些矢量算术和三角学之后，我们得出。

对于 。这种表达 允许我们投射到 飞机。该基本球面相交的投影看起来是一个椭圆。空间曲线的参数化 由于我们设置轴的方式，操作起来有点容易。

当投影到 轴这看起来像一个线段。使用两条投影的空间曲线，我可以找到通过查找椭圆和线段的交点，在3D球坐标系中进行定位。

这很杂乱，但至少是一个常数！我们知道，对于我们感兴趣的表面积，其值为 这样 现在我们需要找到 在我们的球坐标系中 这些我们知道要改变θ 因为您可以想象当我们沿着球体旋转球体时 轴关注区域的宽度变化（与 ž轴到我们正在观察的表面积的位置矢量）。对于最高限额 ，我们将观察球体底部球形帽的表面。我们使用我之前提供的参数化。以来 和  类似于  在我的参数化中，我可以使用 找到那个

 

 

 

因此，对于表面积 一种 两个球形盖的交点 ，

我首先要承认这个积分可能只是数值上可解的，但是我找不到任何优雅的几何方法来解决这个问题，所以我选择了“蛮力”方法。如果我按照上述方法将球体放在原点上，并沿正方向旋转 Ĵ^ 直到 α 集中在 ž轴，然后：

  1. 项目空间曲线  和  到 。
  2. 所述曲线必须是椭圆或圆，因为极端情况  是唯一在投影时会产生直线的直线，而这种情况的答案是表面积 。

如果一个椭圆形包含在另一个椭圆形中，则可以使用用于查找球形盖的外表面积的公式来找到表面积（请参阅Christian的答案）。如果椭圆在两个点处相交（在这种情况下它们不能相交三个或四个），则使用上述问题的答案，我们可以建立一个表面积分来计算 ，考虑到椭圆上的椭圆的交点 平面可以用两个不等式描述  和 这样 ， ，   过度 。

让  和 ，对于 是在 方向和  是从椭圆的投影到椭圆的原点到中心的水平偏移 到 。

让 ，位置向量。