最近在学PHP，今天学到位运算，捣鼓出了下面的东西。
function mersenne($a){
for($i=0;$i<=(2**$a-1)/$a;$i++){
echo "$a&(2**$a-1-$i*$a)=".($a&(2**$a-1-$i*$a));
echo "<br/>";
}
}
6&(2**6-1-0*6)=6
6&(2**6-1-1*6)=0
6&(2**6-1-2*6)=2
6&(2**6-1-3*6)=4
6&(2**6-1-4*6)=6
6&(2**6-1-5*6)=0
6&(2**6-1-6*6)=2
6&(2**6-1-7*6)=4
6&(2**6-1-8*6)=6
6&(2**6-1-9*6)=0
6&(2**6-1-10*6)=2
显而易见，上面每次输出结果都出现了循环，循环长度可以定义为输入参数n的函数f(n).
首先我们定义一个自变量为正整数的函数：
h(n)=n的最大奇因数；
其次我们定义一个自变量为正奇数的函数：
g(m)=大于m的最小的2的方幂；
最后我们可以用不完全归纳法验证：
f(n)=g(h(n))，n≥6.
现在假设你的电脑不是32位也不是64位，而是无穷位，上面这个结果应该是成立的吧？
当然我们可以重新定义按位与运算，对任意两个正整数m与n，m&n可以如下定义：
将m与n先化为二进制，可以将这两个二进制数看作有无穷多位，即高于某一位的数字都取0。
只有当两个二进制数同位上的两个数字都是1才能取1，否则取0，再将得到的二进制数化为十进制数，并返回给m&n.
这样一来，上面f(n)的定义与计算结果应该是相符的吧？
但是如何证明呢？
除此之外，还能找到其它一些有趣的规律。
设n是一个大于等于6的奇数，2^k是大于n的最小的2的方幂，如果n≠2^k-1，则2^k-n是否一定不出现在循环中？