怎么理解“尺度空间高斯核是唯一卷积核”

SIFT里构建尺度空间利用的是高斯函数和原图像迭代卷积。
而且多出提到高斯核是构建尺度空间的唯一卷积核。
Lowe（2004）也提到：
It has been shown by Koenderink (1984) and Lindeberg (1994) that under a variety of reasonable assumptions the only possible scale-space kernel is the Gaussian function.
所以我想问，为什么必须是高斯函数呢？
PS:我看过一篇EI文章，提到的是利用双边滤波而非高斯滤波建立各项异性尺度空间以求保留细节，据文章数据分析效果还挺好的，这又该怎么解释？

书中说高斯是尺度空间唯一的线性卷积核，双边滤波是非线性的，不过我也不太明白为什么尺度空间线性卷积核必须是高斯~

我看到过这么一句话：文献 《Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales》 证明，高斯核是唯一可以产生多尺度空间的核（其它核会对图像造成模糊之外的其它影响）。
唯一就应该是因为加了括号里那个条件吧。我不理解为什么卷积能改变图像大小。。。